RC circuit으로 구현하는 neuron model

Neuron은 RC circuit으로 표현할 수 있는데, RC circuit 수학식을 이용해 neuron model을 만들 수 있다.

Neuron membrane은 약 3~4nm 두께의 lipid bilayer로 구성되어 있다.

Lipid bilayer는 charged molecules의 출입을 제한한다.

이러한 형태는 마치 cell membrane이 capacitor처럼 동작하도록 한다.

또한 lipid bilayer에는 다양한 ion-conducting 채널들이 embedded되어 있다.

이 채널을 통해서 특정한 이온들이 출입을 허가받는다.

이를 바탕으로 cell을 하나의 conductor로 표현하는데, 대표적으로 RC circuit이 있다.

RC circuit의 R은 resistance를, C는 capacitance를 의미한다.

이러한 이온의 열에너지는 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 F는 페러데이 상수, T는 켈빈 온도, R는 기체 상수이다.

따라서 이를 열에너지로 표현해보면 두번째 식과 같은데, q는 아보가드로 상수이고 분자는 볼츠만 상수를 의미한다.

또한 변화량을 위의 식처럼 표현 가능한데, Q는 단위시간에 따른 전하의 변화량을 의미한다.

는 current capacitive를 의미한다.

Q는 전하량(charge)

C는 capacitance로 비례 상수를 가진다.

Vm는 membrane voltage를 의미한다.

Ic는 capacitance에 대한 전류를 말한다.

lipid bilayer 위의 전하의 변화를 나타낸다.

여기서 v의 변화량은 다음과 같이 표현된다.

마지막 수식은 단위시간에 따른 전하량의 변화량을 나타낸다.

결과로 다음의 수식이 나온다

여기서 Area A는 면적으로 으로 생각할 수 있다.

우리는 여기서 membrane potential을 변화시키기 위해 얼마나 많은 current가 요구되는지 알기 위해 membrane capacitance 이용해 측정할 수 있다.

은 total capacitance를 뜻한다.

즉, membrane potential이 시간의 변화에 따라 변하는 것와 뉴런의 total capacitance의 곱을 말한다.

이를 통해 total current를 알아낼 수 있다.

cell membrane을 여러개의 작은 RC circuit으로 표현할 수 있다

그림의 막대기인 I inj은 injection한 것을 표현한 것이다.

RC circuit에서 capacitance의 전류 계산은 위에서 구한 바 있다.

I inj(Ie(t))는 키르히호프의 KCL 법칙으로 다음과 같이 표현 가능하다.

IR은 저항 R에 대한 전류 값을 표현한 것이다.

I inj를 바라보면 키르히호프의 법칙으로 인해 capacitance의 전류 값과 R저항의 전류 값이 더한 값과 같다.

 

여기서 는 타우 라고 읽으며, time constant를 표현한 것이다.

ODE 는 상미분 방정식으로 Ordinary Differential Equation의 줄임말이다.

이를 바탕으로 아래의 그래프를 보자

t = 0에서 시작하고, t = 100일 때 전원이 꺼진다.

초기화 값으로,